Calcul littéral

Développement

Distributivité :

$k(a + b) = ka + kb$

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemples :

• $(2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$
• $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$

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Identités remarquables

$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

$\boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}$

Exemples :

• $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$
• $(5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2$
• $(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49$

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Factorisation

On met en évidence un facteur commun ou on reconnaît une identité remarquable.

Facteur commun :

• $6x^2 - 4x = 2x(3x - 2)$
• $3x(x+1) - 5(x+1) = (x+1)(3x-5)$

Identités :

• $x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$
• $9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$

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Expressions fractionnaires

Simplification

$\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x - 2 \quad (x \neq -2)$

Opérations

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1) + 3x}{x(x+1)} = \frac{5x+2}{x(x+1)}$

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Substitution et vérification

Pour $x = -2$ : $2x^2 - 3x + 1 = 2(4) - 3(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$