Statistiques

Indicateurs de position

Moyenne

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Avec des effectifs $n_i$ :

$\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$

Médiane

La médiane $M$ partage la série ordonnée en deux moitiés égales.

• Si $n$ impair : la médiane est la valeur du rang $\dfrac{n+1}{2}$
• Si $n$ pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$

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Quartiles

• $Q_1$ : premier quartile — 25 % des données sont inférieures à $Q_1$
• $Q_3$ : troisième quartile — 75 % des données sont inférieures à $Q_3$
• Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$

Méthode : Ordonner les données, diviser en quatre groupes égaux.

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Indicateurs de dispersion

Indicateur	Formule	Signification
Étendue	$x_{\max} - x_{\min}$	Amplitude totale
Écart interquartile	$Q_3 - Q_1$	Dispersion centrale
Variance	$v = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$	Dispersion au carré
Écart-type	$\sigma = \sqrt{v}$	Dispersion en unité des données

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Boîte à moustaches (boxplot)

Représentation graphique des cinq nombres : $x_{\min}$, $Q_1$, $M$, $Q_3$, $x_{\max}$.

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min   Q1    M    Q3   max

• La boîte couvre $[Q_1, Q_3]$ (50 % des données)
• Les moustaches s’étendent jusqu’aux valeurs extrêmes

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Exemple complet

Série : $3, 5, 7, 9, 11, 12, 15$ ($n = 7$)

• Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{62}{7} \approx 8{,}86$
• Médiane : 4ème valeur → $M = 9$
• $Q_1$ : médiane de $\{3,5,7\}$ → $Q_1 = 5$
• $Q_3$ : médiane de $\{11,12,15\}$ → $Q_3 = 12$
• Étendue : $15 - 3 = 12$
• Écart interquartile : $12 - 5 = 7$