Proportions et pourcentages

La proportion d’une partie $A$ dans un ensemble $E$ :

$p = \frac{\text{effectif de } A}{\text{effectif de } E}$

Pourcentage : $p \times 100\,\%$

Exemple : Sur 400 élèves, 120 pratiquent un sport. Proportion : $\dfrac{120}{400} = 0{,}3 = 30\,\%$

Évolution — Taux de variation

Pour une valeur qui passe de $V_i$ à $V_f$ :

$t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{V_f}{V_i} - 1$

Coefficient multiplicateur : $k = 1 + t = \dfrac{V_f}{V_i}$

$V_f = V_i \times k$

Exemple : Un prix passe de 80 € à 96 €.

$t = \frac{96 - 80}{80} = \frac{16}{80} = 0{,}2 = +20\,\%$

Pour des évolutions successives de taux $t_1$ , $t_2$ , … :

$k_{\text{global}} = k_1 \times k_2 \times \cdots$

$t_{\text{global}} = k_{\text{global}} - 1$

Exemple : $+10\,\%$ puis $-10\,\%$ :

$k = 1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99 \implies t = -1\,\%$

Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % ne revient pas à la valeur initiale !

Pour retrouver la valeur initiale après une évolution de taux $t$ :

$t_{\text{réciproque}} = \frac{1}{1 + t} - 1$

Exemple : Après $+25\,\%$ (coefficient $1{,}25$ ), le taux pour revenir à la valeur initiale est :

$t = \frac{1}{1{,}25} - 1 = 0{,}8 - 1 = -20\,\%$

Un indice permet de comparer des évolutions en prenant une valeur de référence à 100.

$I_t = \frac{V_t}{V_{\text{référence}}} \times 100$

Exemple : Prix de référence $= 50$ €, prix actuel $= 65$ €.

$I = \frac{65}{50} \times 100 = 130 \quad \text{(hausse de 30 \%)}$