Droites

Équation d’une droite

Toute droite non verticale a une équation de la forme :

$y = mx + p$

• $m$ : coefficient directeur (pente)
• $p$ : ordonnée à l’origine (valeur de $y$ en $x = 0$)

Une droite verticale a pour équation $x = a$.

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Coefficient directeur

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad (x_A \neq x_B)$

Interprétation : Si $m > 0$, la droite monte ; si $m < 0$, elle descend ; si $m = 0$, elle est horizontale.

Exemple : Droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 8)$ :

$m = \frac{8-2}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$

Équation : $y = 3x + p$. On substitue $A$ : $2 = 3 + p \implies p = -1$. Donc $y = 3x - 1$.

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Équation cartésienne

Une droite a aussi pour équation : $ax + by + c = 0$ ($a$ et $b$ pas simultanément nuls).

Un vecteur directeur : $\vec{d} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ (ou $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$)

Un vecteur normal : $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

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Droites parallèles et sécantes

Deux droites $y = m_1 x + p_1$ et $y = m_2 x + p_2$ sont :

• Parallèles (et distinctes) si $m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$
• Confondues si $m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$
• Sécantes si $m_1 \neq m_2$ (une unique intersection)

Droites perpendiculaires : $m_1 \times m_2 = -1$

Exemple : $y = 2x + 1$ et $y = -\frac{1}{2}x + 3$ → $2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ → perpendiculaires.

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Trouver l’intersection de deux droites

Méthode : Résoudre le système $\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases}$

Exemple : $d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$

$2x - 1 = -x + 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2, \quad y = 3$

Intersection : $(2, 3)$

Les deux droites se croisent au point $(2, 3)$. La droite bleue a pour équation $y = 2x - 1$ et la droite orange $y = -x + 5$.

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Équation d’une droite passant par un point de pente donnée

Droite de pente $m$ passant par $(x_0, y_0)$ :

$y - y_0 = m(x - x_0)$

Exemple : Pente $2$, passant par $(1, -3)$ : $y + 3 = 2(x-1) \implies y = 2x - 5$