Trigonométrie

Rappel : triangle rectangle

Dans un triangle rectangle en $A$ :

• L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (le plus long)
• Les deux autres côtés sont les cathètes

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Définitions

Pour l’angle $\hat{B}$ dans un triangle rectangle en $A$ :

$\sin\hat{B} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{BC}$

$\cos\hat{B} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BC}$

$\tan\hat{B} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AC}{AB}$

Mémo : SOH-CAH-TOA

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Valeurs remarquables

Angle	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin$	$0$	$0{,}5$	$\approx 0{,}71$	$\approx 0{,}87$	$1$
$\cos$	$1$	$\approx 0{,}87$	$\approx 0{,}71$	$0{,}5$	$0$
$\tan$	$0$	$\approx 0{,}58$	$1$	$\approx 1{,}73$	indéf.

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Calculer un côté

Exemple : Triangle rectangle en $A$, $\hat{B} = 35°$, $BC = 10$ cm.

$AC = BC \times \sin 35° = 10 \times 0{,}574 \approx 5{,}7 \text{ cm}$

$AB = BC \times \cos 35° = 10 \times 0{,}819 \approx 8{,}2 \text{ cm}$

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Calculer un angle

Utiliser les fonctions inverses (touche $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ sur la calculatrice).

Exemple : $\cos\hat{B} = 0{,}6$ → $\hat{B} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1°$

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Propriété

Dans tout triangle rectangle : $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Et les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°) :

$\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)$