Nombres premiers

Un nombre est premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Premiers jusqu’à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Test : Pour savoir si $n$ est premier, tester les diviseurs jusqu’à $\sqrt{n}$ .

Décomposition en facteurs premiers

Tout entier $\geq 2$ se décompose en produit de facteurs premiers.

Méthode : Diviser successivement par 2, 3, 5, 7, …

Exemple : $\;180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 4 \times 9 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

flowchart TD
  A["60"] --> B["2 × 30"]
  B --> C["2 × 2 × 15"]
  C --> D["2 × 2 × 3 × 5"]
  D --> E["2² × 3 × 5"]
  style A fill:#1e1e3a,stroke:#5B8AF0,color:#5B8AF0
  style B fill:#1e1e3a,stroke:#5B8AF0,color:#5B8AF0
  style C fill:#1e1e3a,stroke:#f97316,color:#f97316
  style D fill:#1e1e3a,stroke:#22c55e,color:#22c55e
  style E fill:#1e1e3a,stroke:#eab308,color:#eab308

PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Le PGCD de $a$ et $b$ est le plus grand entier qui divise les deux.

Méthode 1 — Liste des diviseurs :

Diviseurs de 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Diviseurs de 18 : {1, 2, 3, 6, 9, 18}

PGCD(12, 18) = 6

Méthode 2 — Décomposition : PGCD = produit des facteurs communs au minimum.

$12 = 2^2 \times 3$ , $18 = 2 \times 3^2$ → PGCD $= 2^1 \times 3^1 = 6$

PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Le PPCM est le plus petit entier positif multiple de $a$ et de $b$ .

Méthode : PPCM = produit des facteurs au maximum.

$12 = 2^2 \times 3$ , $18 = 2 \times 3^2$ → PPCM $= 2^2 \times 3^2 = 36$

Application : simplification de fractions

$\dfrac{18}{24}$ → PGCD(18, 24) = 6 → $\dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$

Application : mise au même dénominateur

$\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{18}$ → PPCM = 36 → $\dfrac{3}{36} + \dfrac{2}{36} = \dfrac{5}{36}$