Quiz — Translations et vecteurs

Question 1 : La translation qui transforme $A$ en $A'$ transforme $B$ en $B'$. Quelle est la nature du quadrilatère $ABB'A'$ ?

• ✓ Un parallélogramme
• Un losange
• Un trapèze quelconque
• Un rectangle

Explication : Par définition de la translation, $[AA']$ et $[BB']$ ont la même direction, le même sens et la même longueur : $ABB'A'$ est un parallélogramme. On écrit $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$.

Question 2 : Que signifie l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ?

• $AB = DC$ seulement
• ✓ $ABCD$ est un parallélogramme
• $ABDC$ est un parallélogramme
• Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont alignés

Explication : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ signifie que la translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie $D$ sur $C$ : $ABCD$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres : $ABDC$ serait croisé.

Question 3 : D'après la relation de Chasles, à quoi est égal $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?

• $\overrightarrow{CA}$
• ✓ $\overrightarrow{AC}$
• $\overrightarrow{BB}$
• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$

Explication : Aller de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, revient à aller directement de $A$ à $C$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. La lettre intermédiaire $B$ disparaît.

Question 4 : Quel est l'opposé du vecteur $\overrightarrow{MN}$ ?

• $\overrightarrow{MN}$
• $\overrightarrow{0}$
• ✓ $\overrightarrow{NM}$
• $\overrightarrow{MM}$

Explication : L'opposé de $\overrightarrow{MN}$ a la même direction, la même longueur, mais le sens contraire : c'est $\overrightarrow{NM}$. On écrit $\overrightarrow{NM} = -\overrightarrow{MN}$, et $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}$.

Question 5 : Que vaut $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$ ?

• $2\overrightarrow{AB}$
• ✓ $\overrightarrow{0}$
• $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB}$, non simplifiable
• $\overrightarrow{AB}$

Explication : D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$ : on revient au point de départ. C'est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$, associé à la translation qui ne déplace aucun point.

Question 6 : $ABCD$ est un parallélogramme. À quoi est égal $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ ?

• ✓ $\overrightarrow{AC}$
• $\overrightarrow{BD}$
• $\overrightarrow{DB}$
• $\overrightarrow{CA}$

Explication : Dans le parallélogramme $ABCD$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ : la somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale du parallélogramme qu'ils forment.

Question 7 : Simplifie $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ}$.

• $\overrightarrow{QM}$
• ✓ $\overrightarrow{MQ}$
• $\overrightarrow{NQ}$
• $\overrightarrow{MP}$

Explication : On applique deux fois la relation de Chasles : $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$, puis $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ}$. Trois déplacements bout à bout, de $M$ jusqu'à $Q$.

Question 8 : On applique à une figure la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$, puis la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$. Quelle transformation obtient-on au total ?

• ✓ La translation de vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$
• La translation de vecteur $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$
• Une symétrie centrale
• Une rotation

Explication : Enchaîner deux translations donne une translation, dont le vecteur est la somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$. C'est ainsi que l'on définit la somme de deux vecteurs : on met $\overrightarrow{v}$ bout à bout à la suite de $\overrightarrow{u}$.

Question 9 : $I$ est le milieu du segment $[AB]$. Quelle égalité de vecteurs est vraie ?

• $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI}$
• ✓ $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$
• $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}$
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI}$

Explication : $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont la même direction (la droite $(AB)$), le même sens (de $A$ vers $B$) et la même longueur ($AI = IB$) : ils sont égaux. $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{BI}$ ont, eux, des sens contraires : ils sont opposés.

Question 10 : Laquelle de ces égalités est fausse ?

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$
• $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$
• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
• ✓ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$

Explication : La relation de Chasles exige que l'extrémité du premier vecteur soit l'origine du second. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ ne s'enchaîne pas ; en fait $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$, qui n'est pas $\overrightarrow{AC}$ en général. Les trois autres égalités sont toujours vraies.